Розрахунок стійкості стиснутих стрижнів

На практиці часто виникає необхідність розрахунку стійки або колони на максимальне осьове (поздовжнє) навантаження. Зусилля, при якому стійка втрачає стійкий стан (несучу здатність) є критичним.

На стійкість стійки впливає спосіб закріплення кінців стійки.  У будівельній механіці розглядають сім способів закріплення кінців стійки. Ми розглянемо три основні способи:

 Для забезпечення певного запасу стійкості необхідно щоб дотримувалися умови:

           &nbsp                    &nbsp  Р ≤ [ Р ]

де: Р – діюче зусилля ;

        [Р] – допустиме навантаження.

Встановлюється певний коефіцієнт запасу стійкості

Отже, при розрахунку пружних систем необхідно вміти визначати величину критичної сили Ркр. Якщо мати на увазі що зусилля Р прикладено до стійки викликає лише малі відхилення від прямолінійної форми стійки довжиною ι то його можна визначити з рівняння

 де: E – модуль пружності;
      J_min - мінімальний момент інерції перерізу;
      M(z) – згинальний момент, що дорівнює M(z) =  -P ω;
      ω – величина відхилення від прямолінійної форми стійки;
Вирішуючи це диференціальне рівняння

А та В постійні інтегрування визначаються за граничними умовами.
Зробивши певні дії та підстановки отримаємо кінцевий вираз для критичної сили Р

Найменше значення критичної сили буде за n = 1 (ціле число) та

Рівняння пружної лінії стійки матиме вигляд:

де: z -  поточна ордината, при максимальному значенні z=l; Допустимий вираз для критичної сили називається формулою Л.Ейлера.  Видно, що величина критичної сили залежить від жорсткості стійки EJ_min прямо пропорційно і від довжини стійки. l – обернено пропорційно.
Як було сказано, стійкість пружної стійки залежить від способу її закріплення.
Рекомендована величина запасу міцності для сталевих стійок дорівнює n_y=1,5÷3,0; для дерев'яних  n_y=2,5÷3,5; для чавунних  n_y=4,5÷5,5
Для обліку способу закріплення кінців стійки вводиться коефіцієнт кінців наведеної гнучкості стійки.

де: μ – коефіцієнт наведеної довжини (Таблиця) ;
     i_min-  найменший радіус інерції поперечного перерізу стійки   (Таблиця);   
    ι – довжина стійки;
Вводиться коефіцієнт критичного навантаження:

, (таблиця);
Таким чином, при розрахунку поперечного перерізу стійки необхідно враховувати коефіцієнти μ і ϑ величина яких залежить від способу закріплення кінців стійки та наведена в таблицях довідника по сопромату (Г.С. Писаренко та С.С. П.Фесік )
Наведемо приклад розрахунку критичної сили для стрижня суцільного перерізу прямокутної форми - 6×1 см., Довжина стрижня ι = 2м. Закріплення кінців за схемою III.
    Розрахунок:
За таблицею знаходимо коефіцієнт ϑ=9,97, μ = 1. Момент інерції перерізу буде:

а критичне напруження буде:

Очевидно, що критична сила Р_кр=247 кгс викличе в стрижні напругу всього 41кгс/см² , що значно менше межі  проточності (1600кгс/см²), проте ця сила викличе викривлення стрижня, а значить втрату стійкості. Розглянемо інший приклад розрахунку дерев'яної стійки круглого перерізу защемленої в нижньому кінці і шарнірно закріпленої на верхнем (С.П. Фесік). Довжина стійки 4м, сила стиснення N = 6тс. Допустима напруга [σ]=100кгс/см². Приймаємо коефіцієнт зниження напруги на стиск φ=0.5. Обчислюємо площу перерізу стійки:            

       
Визначаємо діаметр стійки:

Момент інерції перерізу

Обчислюємо гнучкість стійки:
  де: μ=0.7, виходячи зі способу защемлення кінців стійки; Визначаємо напругу в стійці:

Очевидно, що напруга в стійці становить  100кгс/см² і воно рівно допустимому напрузі [σ]=100кгс/см²
Розглянемо третій приклад розрахунку  сталевий стійки з двотаврового профілю, довжиною nbsp; 1.5м, nbsp; сила стиснення 50тс, допустима напруга              [σ]=1600кгс/см². Нижній кінець стійки защемлений, а верхній вільний        (I спосіб).
Для підбору перерізу використовуємо формулу і задаємося

 Підбираємо із сортаменту двотавр №36 та його дані: F=61.9см², i_min=2.89см.  
Визначаємо гнучкість стійки:

де: з таблиці , рівне 2, враховуючи спосіб затискання стійки;
Розрахункова напруга у стійці буде:

>

5кгс ,що приблизно рівно допустимому напрузі, і на 0.97% більше, що допустимо в інженерних розрахунках.
Поперечний переріз стрижнів працюючих на стиск буде раціональним при найбільшому радіусі інерції. При розрахунку питомого радіусу інерції
  найбільш оптимальним є трубчасті перерізи, тонкостінні; для яких величина ξ=1÷2.25, а для суцільних або прокатних профілів  ξ=0.204÷0.5

Висновки
При розрахунку на міцність і стійкість стійок, колон необхідно враховувати спосіб закріплення кінців стійок, застосовувати рекомендований запас міцності. Значення критичної сили отримано з диференціального рівняння вигнутої осьової лінії стійки (Л.Ейлера). Для врахування всіх факторів, що характеризують навантажену стійку, введено поняття гнучкості стійки – λ, коефіцієнт провиденої довжини – μ, коефіцієнт зниження напруги – ϕ, коефіцієнт критичного навантаження – ϑ. Їх значення беруть із таблиць довідників (Г.С.Писарентко та С.П.Фесик).
Наведено приблизні розрахунки стійок, на визначення критичної сили - Ркр, критичної напруги - σкр, діаметра стійок – d, гнучкості стійок – λ та інші характеристики.
Оптимальним перетином для стійок і колон є трубчасті тонкостінні профілю з однаковими головними моментами інерції.

Використана література:
    Г.С Писаренко «Довідник з опору матеріалів».
    С.П.Фесік «Довідник з опору матеріалів».
    В.І. Анур'єв «Довідник конструктора-машинобудівника».
    СНіП     II-6-74 «Навантаження та дії, норми проектування».
        
                        
                     Автор
                Ткаченко Н.А